Математические и логические задачи

[Bulldozer]

Там, ответ, наверное, 1/7. Просто воображаемый ящик априори неравноценен остальным, а в моей задаче равноценен.

[Комс]

Участник @bulldozer написал в Математические и логические задачи:

1/2.

как с красным-чёрным на рулетке?

[xajik]

Самое простое-решать такие задачи по формуле ( методу) Байеса, наверно. Я пытался иными , например логически ( как я это понимал на тот момент , но "поломал" голову в какой-то момент ) Хотя можно "допереть" и логически ( и даже другими методами, например, построив какую-то модель, например, пространственную в голове-условно)
Тогда А пусть , что в последнем ящике( стуле) будет что-то значимое, а Б-что до последнего ящика ( стула) откроются все предыдущие пустыми.
Тогда ответ в задаче Химички-1/7.
И про стулья-1/2 тогда. ПРи помощи формулы просто решается, чего не скажешь про другие методы.
Инетересно то, что на интуитивном уровне неизбежно возникают искажения- то вы начинаете решать в процессе углубления немного не ту задачу, постепенно незаметно для себя каким-либо образом подменив условия. То преувеличиваете каой-то признак, забыв какой-то другой... То есть та же самая популярная в последнее время тема в интуитивных ошибках при вероятностных задачах, которые допускают люди, если решение нужно принимать относительно быстро. На этом даже безбедно жить можно , причем даже относительно законными профессиями

[Bulldozer]

@xajik Такая же фигня. Подобные задачки мне решать намного проще подстановкой в формулу Байеса. Это прямо маст хэв. Но, что характерно, во многих случаях выбор A и B оказывается таков, что P(B/A) равна единице, что говорит о том, что для такой задачи нужна даже не формула Байеса, а более простая.

[xajik]

Можно и проще решать ,конечно, но если нет опыта ( который остался а не забылся), или забылось, то часто трудно состыковать детали, воозрастает возможность ошибки при "простых методах".
В задаче Химички на этапе сравнения ( когда 5 предыдущих ящиков открылись пустыми), нужно всего лишь понять ( догадаться), что из ветки "чертеж потерян" вероятнгсть1/2 для этой ветки. и 1/12 для ветки "чертеж в ящиках". 1к 6 т.е. вероятность благоприятного исхода 1/7( банальная формула вероятности получается- количество благоприятных исходов по отношению к общему исходов при последнем сравнении)
Задача со стульями- в последнем сравнении 2 ветки всего получить открытыми все стулья кроме последнего, у и этих веток равные шансы т.е.1 к 1. Но я когда решал эту задачу, то сразу получил 1/2 , но потом стал "крутить" другие подсчеты и возможности ( иногда эта привычка глупая и приводит к "забыванию решения") постепенно начал решать другую задачу-получив 1/13( что ответ на другое условие), пришлось перепроверять.
Ну и формулу Байеса в голове подсчитать не очень легко ( если не сталкиваться с такими задачами хотя бы изредка), ведь обычно такие задачи стараются решить сначала без бумаги.

[Аленари Вариолис]

В скандинавских древних сказах
Есть забавные примеры.
Гномы падки до алмазов,
Что найдут — несут в пещеры.

Так как знал лесной народец,
Что поблизости их нету,
То построили заводец,
Спрятанный в горе от света.

Там алмазного конвейра
Было вечное гуденье,
А народ благоговейно
Думал, что землетрясенье.

Но однажды злые тролли
Дождались-таки момента:
Все приборы раскололи
Испытательного стенда.

Чтоб камней проверить прочность
И никто не видел чтобы,
Гномы стали тёмной ночью
Их бросать из небоскрёба —

Выяснять этаж, с какого
(Значит, выше и подавно)
Камень, брошенный с балкона,
Будет биться постоянно.

Но алмаз — на вес алмаза,
Жалко бить такие камни.
Добровольцам дали сразу
Только два для испытаний.

Пусть на каждое бросанье
Полагается минута.
Сколько в стоэтажном зданьи
Гномы максимум пробудут,

Если под покровом ночи,
Пока люди не глазеют,
Каждый гном до смерти хочет
Сделать это побыстрее?

[xajik]

Постоянно они могут не биться даже с сотого этажа, но как это определить ? Или сделать погрешность для определения" постоянно"- допустим 90% случаев ( или 95), тогда уже можно посчитать, сколько статистически экспериментов для этого нужно ( но очень долго и долго счяитать придется).
Если принять условие, что они бьются "постоянно"( 100% случаев) с какого-то уровня ( хотя на практике этого не будет), упростив задачу, то можно попробовать посчитать..

[xajik]

самая близкая степень двойки для 100-это 7, т.е двоичный логарифм из 100 окгругляем до 7. Можно еще прибавить 1 попытку на проверку нижнего( верхнего ) этажа на всяукий случай( хотя это не нужно). Те. ответ 7 ( или 8 )

[Аленари Вариолис]

@xajik ответ неверный

[Аленари Вариолис]

Участник @xajik написал в Математические и логические задачи:

Если принять условие, что они бьются "постоянно"( 100% случаев) с какого-то уровня

Это и имелось в виду, скорее всего

[Bulldozer]

Спрашивается, сколько гномы пробудут максимум, если действуют оптимально.
Подразумеваем также, что гномы стараются минимизировать матожидание времени пребывания в доме.

Определения

Назовём этаж плохим, если его номер не ниже номера уже проверенного этажа, с которого разбился алмаз.
Назовём этаж хорошим, если его номер не выше, чем наивысший уже проверенный этаж, с которого алмаз не разбился.
Назовём остальные этажи подозрительными - они выше всех хороших и ниже всех плохих.
Примечание: если первый алмаз ещё не кидался, то хороших или плохих этажей нет - все подозрительные.
Примечание: если первый алмаз разбился сразу, то хороших этажей нет - все или плохие (с какого разбился и выше), или подозрительные (ниже этажа, с какого разбился).
Примечание: если подозрительных этажей нет - это значит, что эксперимент закончился успешно (не значит оптимально) - гномы точно знают, где проходит граница между хорошими и плохими этажами. Если остались подозрительные этажи, это значит, что их задача не решена.

Разобьём время пребывание гномов в доме на два этапа: первый этап длиной T1, когда они кидают первый алмаз и второй этап длиной T2, когда первый алмаз потрачен, и они кидают второй.
Если представить себе, что первый алмаз уже потрачен, то гномы обязаны, тут никуда не денешься, второй алмаз кидать с каждого подозрительного этажа по порядку, начиная с нижнего подозрительного (иначе есть вероятность потратить и второй алмаз, не получив точного ответа). В этом случае T2 равно максимум количеству оставшихся подозрительных этажей. Теперь задача гномов сводится к тому, чтобы оставить как можно меньше подозрительных этажей для второго этапа и в то же время не растягивать по времени первый этап.
Они могут на первом этапе, например, действовать методом дихотомии, а именно кинуть с 50-го этажа, потом с 75-го, потом с 87-го и т.д. Т.е., делить оставшийся отрезок примерно пополам. Не факт, что именно этот метод оптимален - нужно проверять. Допустим, мы знаем оптимальный метод для первого этапа. Тогда можно найти T1 как наиболее вероятное кол-во сделанных попыток до разбивания первого алмаза, а как найти T2 - см. выше. Останется сложить T1 и T2.
На самом деле я знаю, что есть неточность в рассуждениях выше - "оптимизировать" на самом деле нужно оба этапа одновременно.
Дальше я продолжать сейчас не буду, потому что нужно работать.

[xajik]

Ну так оптимально по- "дихотомии" ( двоичному разбиению) и должно быть. Двоичный логарифм( по основанию два) от 100 будет приерно 7.(6,644)-столько бросков нужно сделать ( столько алмазов потратить, если они такие дорогие). Но гномов можно поставить одновременно, и если алмазов не жалко и можно отследить результаты каждого броска при одновременном бросании- то можно сделать это сразу одновременно за 1 минуту, но тогда все 100 алмазов.
Иначе я не понимаю одно из условий( легко запутаться при таком количестве текста и нечеткости ). Часто пропускаю такие длинные условия, например, не понял, что вычисляется затраченное время, а не количество алмзов, но все равно не ясно четко условие...

[Аленари Вариолис]

Метод дихотомии неправильный, если кинуть сразу с 50 этажа, потом 49 раз кидать? многовато

[xajik]

Метод дихотомии- деление пополам. Если сначала кинуть с 50, то потом ( если разбилось) - с 25 этажа ( или другого, близкого к середине отрезка от нуля до 50). Пример. Кидаем с 64-32-16-8-4-2 этажей. И каждый раз , предположим, будет разбиваться.Бросили 6 раз, и предположительно, на 1 этаже может не разбиться, но мы должны и это проверить, поэтому не менее 7 бросков ( затрат алмазов) в теоретически самой длиннй серии попыток мы должны использовать. В случае, если где-то в серии не разбивается, мы делаем попытку "дихотомии" наверху отрезка, который еще не исследовали ( например на 16 этаже уже не разбилось, поэтому наш следующий бросок- середина от 32 и 16- то есть 24 этаж и так далее), продолжая делить его пополам- и те же 7 максимальных попыток ( часто 6).
Если есть зависимость цены времени от цены алмазов ( то тоже по логарифму, но уже с другими основаниями можно быстро вычислить число одновременных попыток), то мы можем кидать разное число камней одновременно ( тогда это будет троичное и так далее разбиения). Можно кинуть сразу 100 одновременно со всех 100 этажей и потом тупо посчитать количество целых камней, если время 1 минута времени намного ценнее стоимости 99 алмазов.
Н я, возможно, просто не понял условий полностью. В чем сложность подобных приукрашенных условий- часто непонятно, что требуется найти и при каких ограничениях.

[Bulldozer]

@xajik по условию алмаза ровно два. Можно разбить оба, но не больше.

[xajik]

Добровольцам дали сразу
Только два для испытаний.
я понял, что каждому из добровольцев ( а их несколько) дали по 2 камня, те. камней не 2
хотя условие нечектое, о чем я уже предупредил хотя бы сам себя

[xajik]

если всего 2, то просто кидаем со 2-го, потом с 4-го, максимальная последовательность 50

[Bulldozer]

Участник @xajik написал в Математические и логические задачи:

Добровольцам дали сразу
Только два для испытаний.
я понял, что каждому из добровольцев ( а их несколько) дали по 2 камня, те. камней не 2

Если было бы так, то решение простое - 100 добровольцев - по 1 на каждый этаж и каждому по алмазу. Занимает ровно минуту.

[xajik]

Это если стоимость минуты времени намного ценнее стоимости 99 алмазов, а если нет?
Пусть Химичка потом уточнит, сколько алмазов. Всего 2?
А , я понял, если 2 всего, то кидаем сначала на 33 этаже. и потом снизу если разбился-33 попытки. Если не разбился- то на 66 и так далее.
34 попытки должно выходить максимально.
Тогда это разбиение на 3, и достаточно частый случай, наверно, в общем случае это переформулируется на разбиение на "эн плюс 1" в подобных примерах. Наример, задача взвесить 27 монет на весах. найти 1 бракованную монетку из той же серии.

[Аленари Вариолис]

@xajik можно и меньше, чем 33
Да, два алмаза на все опыты